7. O piramidă patrulateră regulată VABCD, cu vârful V şi baza ABCD are aria laterală de 80 cm şi aria totală de 144 cm? a) Calculaţi volumul piramidei. b) Determinaţi distanta de la centrul bazei la planul (VBC).
Dau coroana ​

Răspuns:

Aria bazei (Ab) = Aria totala - Aria laterala

=> Ab = 144 - 80 = 64

Ab = latura * latura = 64

=> latura = 8cm

Aria laterala = Aria unei fete laterrale * 4 (pentru ca sunt 4 fete).

Aria laterala = 80

Aria unei fete = 80 : 4 = 20

Fie inaltimea din V pe AB = {M}

Aria VAB = VM * AB / 2 = 20

VM * 8 = 40

VM = 5cm (apotema)

Fie {O} = mijlocul piramidei

MO = latura / 2 = 4cm

triunghiul VMO dreptunghic, din teorema lui Pitagora => VO = 3cm (inaltimea)

a) Volumul piramidei = Aria bazei * inaltimea / 3 = 64 * 3 / 3

Volumul piramidei = 64

Fie OF perpendicular pe VM (1)

VM perpendicular pe AB (2)

OM perpendicular pe AB (3)

VM, AB apartin (VAB) (4)

(1),(2),(3),(4), din reciproca teoremei celor trei perpendiculare 2 => OF perpendicular pe (VAB)

triunghiul VMO dreptunghic, din teorema inaltimii => OF = 3 * 4 / 5 = 12 / 5

b) distanta de la centrul bazei la planul (VBC) = OF = 12 / 5