În triunghiul dreptunghic ABC, cu <A=90°, AB=15 cm și AC=20 cm, notăm cu D proiecția punctului A pe BC și cu E piciorul perpendicularei unghiului <A. Aflați lungimea segmentului DE. ​.

Răspuns:

[tex]DE = \frac{12}{7} \: cm[/tex]

Explicație pas cu pas:

în ΔABC:

[tex]BC² = AB² + AC² = 15² + 20² = 225 + 400 = 625 = 25²[/tex]

[tex] = > BC = 25 \: cm[/tex]

AD înălțime:

[tex]AD = \frac{AB×AC}{BC} = \frac{15 \times 20}{25} = 12[/tex]

[tex] = > AD = 12 \: cm[/tex]

în ΔADC:

[tex]DC² = AC² - AD² = 20² - 12² = 400 - 144 = 256 = 16^{2} [/tex]

[tex] = > DC = 16 \: cm[/tex]

[tex]BD = BC - DC \\ = >BD = 9 \: cm[/tex]

AE bisectoare:

[tex] \frac{AB }{AC} = \frac{BE}{EC} \\ \frac{BE}{EC} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4} = k[/tex]

[tex]BE = 3k \\ EC = 4k[/tex]

[tex]BE + EC = BC = > [/tex]

[tex]3k + 4k = 25 \\ 7k = 25 => k = \frac{25}{7}[/tex]

[tex]BE = \frac{3 \times 25}{7}= > BE = \frac{75}{7} \: cm \\ EC = \frac{4 \times 25}{7} = > EC = \frac{100}{7} \: cm[/tex]

[tex]DE = DC - EC = 16 - \frac{100}{7} \\ = > DE = \frac{12}{7} \: cm[/tex]