Explicație pas cu pas:
a) x ∈ (0; +∞)
[tex]f'(x)=( {x}^{2} - 2 ln(x) )'=( {x}^{2} )' - (2 ln(x) )' = 2x - 2 \frac{1}{x} = \frac{2 ({x}^{2} - 1) }{x} = \frac{2(x - 1)(x + 1)}{x} [/tex]
b)
...................0........1.......+∞
x-1...............------ 0 ++++
x+1..............++++++++++
2(x-1)(x+1)...------ 0 ++++
x.................++++ 0 ++++
f'(x).............------- | ++++
=>
f(x) este descrescătoare pe intervalul
0 < x < 1
f(x) este crescătoare pe intervalul
1 < x < +∞
c)
f(1) = 1
funcția are minim la (1; 1)
[tex]=> f(x) \geqslant 1[/tex]
pentru orice x ∈ (0; +∞)
[tex]f(x) \geqslant 1 = > f( \frac{2}{3} ) \geqslant 1 \\ {( \frac{2}{3}) }^{2} - 2 ln( \frac{2}{3} ) \geqslant 1 \\ 2 ln( \frac{2}{3} ) \leqslant \frac{4}{9} - 1 \\ 2 ln( \frac{2}{3} ) \leqslant - \frac{5}{9} \\ = > ln( \frac{2}{3} ) \leqslant - \frac{5}{18} [/tex]
