Se consideră funcția [tex]$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=\sqrt{x^{2}+2}-a x$[/tex], unde [tex]$a$[/tex] este număr real.

5 p a) Pentru [tex]$a=0$[/tex], arătați că [tex]$f^{\prime}(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+2}}, x \in \mathbb{R}$[/tex].

5p b) Determinați numărul real [tex]$a$[/tex] pentru care tangenta la graficul funcției [tex]$f$[/tex] în punctul de abscisă [tex]$x=\sqrt{2}$[/tex], situat pe graficul funcției [tex]$f$[/tex], este paralelă cu axa [tex]$O x$[/tex].

[tex]$5 p$[/tex] c) Demonstrați că, pentru orice număr real [tex]$a$[/tex], graficul funcției [tex]$f$[/tex] admite asimptotă spre [tex]$+\infty$[/tex].

[tex]f(x)=\sqrt{x^{2}+2}-a x[/tex]

a)

a=0

Ne folosim de tabelul de derivate ( vezi atasament )

[tex]f'(x)=(\sqrt{x^2+2})'=\frac{2x}{2\sqrt{x^2+2} } =\frac{x}{\sqrt{x^2+2} }[/tex]

b)

Doua drepte sunt paralele daca pantele lor sunt egale

[tex]f'(\sqrt{2} )=0\\\\\frac{\sqrt{2} }{\sqrt{2+2} } -a=0\\\\\frac{\sqrt{2} }{2} =a[/tex]

c)

Calculam asimptota orizontala spre +∞

[tex]\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2+2} -ax=\infty-\infty\ forma\ nedeterminata[/tex]

Calculam asimptota oblica:

[tex]m= \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2+2} -ax}{x} =\frac{x(1+\frac{\sqrt{2} }{x}-a) }{x} =1-a\\\\\frac{\sqrt{2} }{x}\to 0 \\\\n= \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2+2}-ax-(1-a)x= \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2+2}-ax-x+ax=\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x^2+2}-x\\\\Rationalizam\\\\n= \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2+2-x^2}{\sqrt{x^2+2}+x } \\\\n= \lim_{x \to +\infty} \frac{2}{\sqrt{x^2+2}+x } =0[/tex]

Dreapta de ecuatie y=(1-a)x este asimptota oblica spre +∞

Un alt exercitiu cu functii gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9905550

#BAC2022

#SPJ4