Se consideră matricele [tex]$A=\left(\begin{array}{rr}-2 & 2 \\ -3 & 3\end{array}\right), I_{2}=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right)$[/tex] şi [tex]$M(x)=I_{2}+x A$[/tex], unde [tex]$x$[/tex] este număr real.

1. Arătați că det [tex]$(M(0))=1$[/tex].

2. Arătați că [tex]$M(1)-M(3)=M(3)-M(5)$[/tex].

3. Arătați că [tex]$A \cdot A=A$[/tex].

4. Determinați mulțimea valorilor reale ale lui [tex]$x$[/tex] pentru care [tex]$\operatorname{det}\left(M\left(x^{2}\right)\right)\ \textless \ 5$[/tex].

5. Demonstraţi că [tex]$M(x) \cdot M(y)=M(x+y+x y)$[/tex], pentru orice numere reale [tex]$x$[/tex] și [tex]$y$[/tex].

6. Determinați numerele întregi [tex]$m$[/tex] şi [tex]$n, m\ \textless \ n$[/tex], pentru care [tex]$M(m) \cdot M(n)=M(2)$[/tex].

[tex]A=\left(\begin{array}{rr}-2 & 2 \\ -3 & 3\end{array}\right)[/tex]

1)

Calculam det(M(0)), inlocuim pe x cu 0 si facem diferenta dintre produsul diagonalelor

M(0)=I₂

detI₂=1-0=1

2)

M(1)-M(3)=I₂+A-(I₂+3A)=-2A

M(3)-M(5)=I₂+3A-(I₂+5A)=-2A

Se observa ca sunt egale

3)

[tex]A\cdot A=\left(\begin{array}{rr}-2 & 2 \\ -3 & 3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{rr}-2 & 2 \\ -3 & 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}-2 & 2 \\ -3 & 3\end{array}\right)=A[/tex]

4)

det(M(x²))<5

[tex]det(M(x^2))=\left|\begin{array}{rr}1-2x^2 & 2x^2 \\ -3 x^2& 1+3x^2\end{array}\right| < 5\\\\(1-2x^2)(1+3x^2)-2x^2(-3x^2) < 5\\\\1+x^2-6x^2+6x^2 < 5\\\\x^2-4 < 0\\\\(x-2)(x+2) < 0[/tex]

Tabel semn

x                   -∞        -2         2             +∞

(x-2)(x+2)   + + + + + 0  - - - -0 + + + + +

x∈(-2,2)

5)

A²=A

M(x)·M(y)=(I₂+xA)(I₂+yA)=I₂²+I₂yA+xAI₂+xyA²=I₂+xA+yA+xyA=I₂+(x+y+xy)A=M(x+y+xy)

6)

M(m)·M(n)=M(m+n+mn)

Ne folosim de punctul 5

M(m+n+mn)=M(2)

m+n+mn=2

m+n+mn-2=0

m+mn+n+1-3=0

m(1+n)+(n+1)-3=0

(m+1)(n+1)=3

m+1=1 si n+1=3

m=0 si n=2

m+1=-3 si n+1=-1

m=-4 si n=-2

Un alt exercitiu cu matrice gasesti aici: https://brainly.ro/tema/9919033

#BAC2022

#SPJ4