100 de puncte!!! Urgent toate din imagine

Explicație pas cu pas:

1)

[tex]25 - {x}^{2} \geqslant 0 < = > (5 - x)(5 + x) \geqslant 0 \\[/tex]

[tex]= > D = [-5; 5][/tex]

[tex] \sqrt{25 - {x}^{2} } = 3[/tex]

[tex]25 - {x}^{2} = 9 < = > {x}^{2} = 16 \\ x = - 4 \: sau \: x = 4[/tex]

2)

[tex]6x - 5 \geqslant 0 < = > 6x \geqslant 5 = > x \geqslant \frac{5}{6} \\ [/tex]

și

[tex]x \geqslant 0[/tex]

[tex]= > D = \left[\frac{5}{6}; +\infty \right) \\[/tex]

[tex]\sqrt{6x - 5} = x \\ 6x - 5 = {x}^{2} \\ {x}^{2} - 6x + 5 = 0 \\ (x - 1)(x - 5) = 0 \\ x - 1 = 0 = > x = 1 \\ x - 5 = 0 = > x = 5[/tex]

3)

[tex]2x + 3 \geqslant 0 < = > 2x \geqslant - 3 = > x \geqslant - \frac{3}{2} \\ [/tex]

și

[tex]x - 2 \geqslant 0 = > x \geqslant 2[/tex]

[tex]= > D = \left[2; +\infty \right)[/tex]

[tex]\sqrt{2x + 3} = x - 2 \\ 2x + 3 = {x}^{2} - 4x + 4 \\ {x}^{2} - 6x + 1 = 0[/tex]

Δ = 36 - 4 = 32

[tex]x_{1} = \frac{6 - \sqrt{32} }{2} = \frac{6 - 4 \sqrt{2} }{2} = 3 - 2 \sqrt{2} < 2 \\ [/tex]

nu este soluție (nu aparține domeniului de definiție)

[tex]x_{2} = \frac{6 + \sqrt{32} }{2} = \frac{6 + 4 \sqrt{2} }{2} = 3 + 2 \sqrt{2} \\[/tex]

4)

[tex]3 {x}^{2} - x - 2 \geqslant 0 < = > (3x + 2)(x - 1) \geqslant 0 \\ x \leqslant - \frac{2}{3} \: sau \: x \geqslant 1[/tex]

și

[tex]x - 1 \geqslant 0 = > x \geqslant 1[/tex]

[tex]= > D = \left[1; +\infty \right)[/tex]

[tex] \sqrt{3 {x}^{2} - x - 2} = x - 1 \\ 3 {x}^{2} - x - 2 = {x}^{2} - 2x + 1 \\ 2 {x}^{2} + x - 3 = 0 \\ (2x + 3)(x - 1) = 0[/tex]

[tex]2x + 3 = 0 = > x = - \frac{3}{2} \\[/tex]

nu este soluție (nu aparține domeniului de definiție)

[tex]x - 1 = 0 = > x = 1[/tex]

5)

[tex]{x}^{2} - x + 1 \geqslant 0 = > x \in \mathbb{R}[/tex]

și

[tex]3 - x \geqslant 0 = > x \leqslant 3[/tex]

[tex]= > D = \left( - \infty ; 3 \right][/tex]

[tex]\sqrt{{x}^{2} - x + 1} = 3 - x \\ {x}^{2} - x + 1 = 9 - 6x + {x}^{2} \\ 5x = 8 = > x = \frac{8}{5}[/tex]

6)

[tex]{x}^{2} - x - 6 \geqslant 0 < = > (x + 2)(x - 3) \geqslant 0 \\ = > x \leqslant - 2 \: sau \: x \geqslant 3[/tex]

și

[tex]3 - x \geqslant 0 = > x \leqslant 3[/tex]

[tex]= > D = \left(-\infty ; 2 \right] U \{ 3 \} \\ [/tex]

[tex]\sqrt{ {x}^{2} - x - 6} = 3 - x \\ {x}^{2} - x - 6 = 9 - 6x + {x}^{2} \\ 5x = 15 = > x = 3[/tex]

7)

[tex]14 - x \geqslant 0 = > x \leqslant 14[/tex]

[tex]x - 2 \geqslant 0 = > x \geqslant 2[/tex]

[tex]= > D = [2; 14][/tex]

[tex]x - \sqrt{14 - x} = 2 \\ \sqrt{14 - x} = x - 2 \\ 14 - x = {x}^{2} - 4x + 4 \\ {x}^{2} - 3x - 10 = 0 \\ (x + 2)(x - 5) = 0[/tex]

[tex]x + 2 = 0 = > x = - 2 \\[/tex]

nu este soluție (nu aparține domeniului de definiție)

[tex]x - 5 = 0 = > x = 5[/tex]

Remarcă

Prin ridicare la pătrat, uneori apar soluții în plus, de aceea o verificare este absolut necesară.

Verificarea de la final ne scutește de la calculele pentru determinarea domeniului de existență a ecuației.

[tex]\it a)\ \sqrt{25-x^2}=3 \Rightarrow (\sqrt{25-x^2})^2=3^2 \Rightarrow 25-x^2=9 \Rightarrow 25-9=x^2 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow x^2=16 \Rightarrow \sqrt{x^2}=\sqrt{16} \Rightarrow |x|=4 \Rightarrow x=\pm4\\ \\ \\ b)\ \sqrt{6x-5}=x \Rightarrow (\sqrt{6x-5})^2=x^2 \Rightarrow 6x-5=x^2 \Rightarrow x^2-6x+5=0 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow x^2-x-5x+5=0 \Rightarrow x(x-1)-5(x-1)=0 \Rightarrow (x-1)(x-5)=0 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow x_1=1,\ \ x_2=5[/tex]

[tex]\it c)\ \ \sqrt{2x+3}=x-2 \Rightarrow (\sqrt{2x+3})^2=(x-2)^2 \Rightarrow 2x+3=x^2-4x+4 \Rightarrow \\ \\ x^2-6x+1=0 \Rightarrow x^2-6x+9-8=0 \Rightarrow (x-3)^2-(\sqrt8)^2=0 \Rightarrow \\ \\ (x-3-\sqrt8)(x-3+\sqrt8)=0 \Rightarrow (x-3-2\sqrt2)(x-3+2\sqrt2)=0 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow x_1=3-2\sqrt2,\ \ \ x_2=3+2\sqrt2[/tex]

[tex]\it x_1=3-2\sqrt2\ nu \ verific\breve a\ ecua\c{\it t}ia\ ini\c{\it t}ial\breve a.\\ \\ Deci,\ ecua\c{\it t}ia\ dat\breve a\ admite \ solu\c{\it t}ia\ unic\breve a\ \ x=3+2\sqrt2[/tex]

[tex]\it e)\ \sqrt{x^2-x+1}=3-x \Rightarrow (\sqrt{x^2-x+1})^2=(3-x)^2 \Rightarrow \\ \\ \\ \Rightarrow x^2-x+1=9-6x+x^2 \Rightarrow -x+1=9-6x \Rightarrow 6x-x=9-1 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow 5x=8|_{:5} \Rightarrow x=1,6[/tex]

Verificarea este imediată.