Ajutor!Multumesc anticipat!​

Explicație pas cu pas:

[tex]A = \frac{1}{ \sqrt{1} + \sqrt{2} } + \frac{1}{ \sqrt{2} + \sqrt{3} } + ... + \frac{1}{ \sqrt{99} + \sqrt{100} } \\ [/tex]

[tex]= \frac{ \sqrt{2} - \sqrt{1} }{( \sqrt{2} + \sqrt{1})(\sqrt{2} - \sqrt{1}) } + \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})} + ... + \frac{\sqrt{100} - \sqrt{99}}{ (\sqrt{100} + \sqrt{99})(\sqrt{100} - \sqrt{99}) } \\ [/tex]

[tex]= \frac{ \sqrt{2} - \sqrt{1} }{2 - 1} + \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3 - 2} + ... + \frac{\sqrt{100} - \sqrt{99}}{100 - 99} \\ [/tex]

[tex]= \frac{ \sqrt{2} - \sqrt{1} }{1} + \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{1} + ... + \frac{\sqrt{100} - \sqrt{99}}{1} \\ [/tex]

[tex]= \sqrt{\not 2} - \sqrt{1} + \sqrt{\not 3} - \sqrt{\not 2} + ... + \sqrt{100} - \sqrt{\not 99} \\ [/tex]

[tex]= - \sqrt{1} + \sqrt{100} = 10 - 1 = 9 \in \mathbb{N}\\ [/tex]

Răspuns:

A = 9 ∈ N

Explicație pas cu pas:

[tex]A = \frac{1}{\sqrt{1} +\sqrt{2} } + \frac{1}{\sqrt{2} +\sqrt{3} } + ..... + \frac{1}{\sqrt{99} +\sqrt{100} }[/tex]

Înmulțim fiecare fracție cu conjugatul numitorului:

[tex]A = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{1} }{2-1} + \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2} }{3-2} + \frac{\sqrt{4} -\sqrt{3} }{4-3} + ..... + \frac{\sqrt{100} - \sqrt{99} }{100-99}[/tex]

Cum fiecare numitor este egal cu 1, numărul A se scrie astfel:

[tex]A = \sqrt{2} - \sqrt{1} + \sqrt{3} - \sqrt{2} + \sqrt{4} - \sqrt{3} + .... + \sqrt{100} - \sqrt{99}[/tex]

Din trei în trei, termenii sunt opuși: √2 și -√2 ; √3 și -√3 și așa mai departe.

După eliminarea termenilor opuși, A este:

[tex]A = -\sqrt{1} + \sqrt{100}[/tex]

A = -1 + 10 = 9, care este număr natural.