14. Fie AOB un unghi la centrul cercului O şi A'OB' un alt unghi la centru cu laturile respectiv perpendiculare pe ale primului unghi. Să se demonstreze că dreptele AB, A'B' sint perpendiculare sau paralele, după cum unghiurile indicate sînt ambele de acelaşi fel, sau unul ascuţit iar celălalt obtuz​

Explicație pas cu pas:

AOB un unghi la centrul cercului O şi A'OB' un alt unghi la centru cu laturile respectiv perpendiculare pe ale primului unghi

ducem OM ⊥ AB și ON ⊥ A'B'

OA ≡ OB (raze) => ΔAOB isoscel, OM bisectoare

∢AOM = ½•∢AOB

OA' ≡ OB' (raze) => ΔA'OB' isoscel, ON bisectoare

∢A'ON' = ½•A'OB'

A'O ⊥ AO => ∢A'OA = 90°

B'O ⊥ BO => ∢B'OB = 90°

1) A'OB' unghi obtuz

∢AOB + ∢A'OB' = 360° - (90° + 90°) = 180°

=> ∢AOM + ∢A'ON' = ½•(∢AOB + ∢A'OB') = 90°

=> O ∈ MN => AB || A'B'

2) A'OB' unghi ascuțit

∢AOB + ∢AOB' = 90°

∢A'OB' + ∢AOB' = 90°

=> ∢AOB = ∢A'OB' => ∢AOM = ∢B'ON'

=> ∢MON = 90° => MO ⊥ ON

=> AB ⊥ A'B'