Răspuns:
Explicație pas cu pas:
Funcția de sub integrală nu e definită în 0. Este o integrală improprie. Se calculează astfel:
[tex]\lim_{a \to 0} \int\limits^{2\sqrt{2}}_a \frac{\sqrt{x^2+1}-1}{x} dx = \lim_{a \to 0}\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x^2}xdx[/tex]
Notăm [tex]\sqrt{1+x^2}=t\Rightarrow 1+x^2=t^2\Rightarrow 2xdx=2tdt[/tex].
[tex]x=a\Rightarrow t=\sqrt{1+a^2}\\x=2\sqrt{2}\Rightarrow t=3[/tex]
Atunci integrala devine
[tex]\int_{\sqrt{1+a^2}}^3\frac{t-1}{t^2-1}tdt=\int_{\sqrt{1+a^2}}^3\frac{t}{t+1}dt=\left. t\right | _{\sqrt{1+a^2}}^3-\left. \ln\left(t+1\right)\right |_{\sqrt{1+a^2}}^3=\\=3-\sqrt{1+a^2}-\ln\frac{4}{\sqrt{1+a^2}+1}[/tex]
Trecând la limită cu [tex]a\rightarrow 0[/tex] se obține [tex]2-\ln 2[/tex]
