55. Pe laturile AB şi BC ale unui triunghi ABC, se construiesc în exterior pătratele ABMN şi BCQP. Fie O₁ şi O₂ centrele acestor pătrate şi K, L mijloacele laturilor AC respectiv MP. APOMC=D. Arătaţi că: a) AMBC= ABP; b) AMBD inscriptibil; c) O LO₂K pătrat. ​

Explicație pas cu pas:

a) ∢MBC = ∢MBA + ∢ABC = 90° + ∢ABC

∢ABP = ∢PBC + ∢ABC = 90° + ∢ABC

MB ≡ AB și BC ≡ BP

=> ΔMBC ≡ ΔABP (1)

b) din (1) => ∢MCB ≡ ∢APB

Notăm AP ∩ BC = {E}

∢CED ≡ ∢PEB

=> ΔCED ≡ ΔPEB

=> ∢PBE ≡ ∢CDE = 90° (2)

∢ADM ≡ ∢CDE = 90° (opuse la vârf)

=> ΔADM dreptunghic

AM este diametrul cercului circumscris pătratului ABMN, C(O₁, OA)

=> D ∈ C(O₁, OA)

=> AMBD este inscriptibil

c) în ΔACM: K mijlocul AC, O₁ mijlocul AM => KO₁ este linie mijlocie => KO₁ || MC și KO₁ = ½•MC

în ΔPCM: L mijlocul MP, O₂ mijlocul CP => LO₂ este linie mijlocie => LO₂ || MC și LO₂ = ½•MC

=> KO₁ || LO₂ și KO₁ ≡ LO₂

în ΔACP: K mijlocul AC, O₂ mijlocul CP => KO₂ este linie mijlocie => KO₂ || AP și KO₂ = ½•AP

din (1) AP ≡ MC

din (2) AP ⊥ MC

=> K0₁ ≡ KO₂ ≡ LO₂ și K0₁ ⊥ KO₂

=> KO₁LO₂ este pătrat

q.e.d.