Răspuns:
6. Valorile extreme ale funcției sunt 0 (valoarea minimă) și [tex]4e^{-2}[/tex] (valoarea maximă locală). Suma pătratelor lor este [tex]16e^{-4}[/tex].
7. Este cazul [tex]1^{\infty}[/tex]
[tex]l=\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1+\cos\frac{2\pi x}{x+1}-1\right)^{x^2}=e^\displaystyle{\lim_{x\to\infty}x^2\left(\cos\frac{2\pi x}{x+1}-1\right)[/tex]
Limita de la exponent este
[tex]\displaystyle{-\lim_{x\to\infty}x^2\sin^2\frac{\pi x}{x+1}=-\lim_{x\to\infty}x^2\sin^2\left(\pi-\frac{\pi x}{x+1}\right)=-\lim_{x\to\infty}\frac{\sin^2\frac{\pi}{x+1}}{\left(\frac{\pi}{x+1}\right)^2}\cdot\frac{\pi^2}{(x+1)^2}x^2=-\pi^2[/tex]
Deci limita este [tex]e^{-\pi^2}[/tex]
8.
[tex]\displaystyle\int_0^1\left(e^{f(x)}+xf'(x)e^{f(x)}\right)dx=\int_0^1\left(xe^{f(x)}\right)'dx=\left.xe^{f(x)}\right|_0^1=e^{f(1)[/tex]
Explicație pas cu pas:
