Răspuns:
Avem
[tex]\displaystyle\frac{x^n}{x^2+1}=\frac{2x}{x^2+1}\cdot\frac{x^{n-1}}{2}\le\frac{x^{n-1}}{2}[/tex]
deoarece [tex]\displaystyle\frac{2x}{x^2+1}\le 1, \ \forall x\in[0,1][/tex]
[tex]x^2+1\le 2, \ \forall x\in[0,1]\Rightarrow \displaystyle\frac{1}{x^2+1}\ge\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{x^n}{2}\le\frac{x^n}{x^2+1}[/tex]
Deci
[tex]\displaystyle\frac{x^n}{2}\le\frac{x^n}{x^2+1}\le\frac{x^{n-1}}{2}\Rightarrow\int_0^1\frac{x^n}{2}dx\le I_n\le\int_0^1\frac{x^{n-1}}{2}dx\Rightarrow\\\Rightarrow\frac{1}{2(n+1)}\le I_n \le\frac{1}{2n}\Rightarrow\frac{n}{2(n+1)}\le nI_n\le\frac{n}{2n}[/tex]
Trecând la limită și aplicând criteriul cleștelui rezultă [tex]l=\displaystylr\frac{1}{2}[/tex].
Explicație pas cu pas:
