Răspuns:
Notăm [tex]f(x)=y[/tex]. Adică
[tex]\displaystyle\frac{ax^2-bx+1}{x^2+1}=y\Rightarrow (a-y)x^2-bx+1-y=0[/tex]
Ecuația în x trebuie să aibă rădăcini reale, deoarece funcția este definită pe R. Atunci [tex]\Delta\ge 0[/tex].
[tex]\Delta= -4y^2+4y(a+1)+b^2-4a\ge 0[/tex]
[tex]\Delta_y=16((a-1)^2+b^2)[/tex]
[tex]y_1=\displaystyle\frac{a+1-\sqrt{(a-1)^2+b^2}}{2}, \ y_2=\frac{a+1+\sqrt{(a-1)^2+b^2}}{2}[/tex]
Atunci [tex]y\in \left[y_1,y_2\right][/tex]. Deci imaginea funcției este intervalul [tex][y_1,y_2][/tex].
Atunci
[tex]\displaystyle\frac{a+1-\sqrt{(a-1)^2+b^2}}{2}=-\frac{1}{2}\\\frac{a+1+\sqrt{(a-1)^2+b^2}}{2}=\frac{5}{2}[/tex]
Adunând egalitățile rezultă [tex]a=1[/tex] și înlocuind pe a se obține [tex]b=\pm 3[/tex]
Explicație pas cu pas:
