Ajutorul dumneavoastră este necesar la această problemă​

Răspuns:

Fie [tex]f(x)=y[/tex]. Rezultă

[tex]\displaystyle\frac{x^2+2x+2}{x^2+x+1}=y\Rightarrow x^2+2x+2=x^2y+xy+y\Rightarrow(y-1)x^2+(y-2)x+y-2=0[/tex]

Ecuația trebuie să aibă rădăcini reale, deoarece funcția este definită pe R. Atunci

[tex]\Delta\ge 0\Rightarrow (y-2)^2-4(y-1)(y-2)\ge 0\Rightarrow -3y^2+8y-4\ge 0[/tex]

Rădăcinile sunt

[tex]y_1=\displaystyle\frac{2}{3}, \ y_2=2[/tex]

Atunci [tex]y\in\left[\displaystyle\frac{2}{3},2\right][/tex]. Deci imaginea func'iei este intervalul [tex]\left[\displaystyle\frac{2}{3},2\right][/tex].

Explicație pas cu pas:

Explicație pas cu pas:

[tex]f(x) = \frac{ {x}^{2} + 2x + 2}{{x}^{2} + x + 1} \\ [/tex]

[tex]{x}^{2} + x + 1 \not = 0[/tex]

[tex]f'(x) = \Big(\frac{ {x}^{2} + 2x + 2}{{x}^{2} + x + 1}\Big)' = \\ [/tex]

[tex]= \frac{({x}^{2} + 2x + 2)' \cdot ({x}^{2} + x + 1) - ({x}^{2} + 2x + 2) \cdot ({x}^{2} + x + 1)'}{({x}^{2} + x + 1)^{2}} \\ [/tex]

[tex]= \frac{(2x + 2) \cdot ({x}^{2} + x + 1) - ({x}^{2} + 2x + 2) \cdot (2x + 1)}{({x}^{2} + x + 1)^{2}} \\ [/tex]

[tex]= - \frac{x(x + 2)}{({x}^{2} + x + 1)^{2}} \\ [/tex]

[tex]f'(x) = 0 \implies \frac{- x(x + 2)}{({x}^{2} + x + 1)^{2}} = 0 \\ \iff x(x + 2) = 0 \\[/tex]

[tex]x = 0 \implies f(x) = 2 \\ \Big(0;2\Big) \ \ punct \ de \ maxim \\ x = - 2 \implies f(x) = \frac{2}{3} \\ \Big( - 2; \frac{2}{3} \Big) \ \ punct \ de \ minim[/tex]

[tex]\implies \bf \frac{2}{3} \leqslant f(x) \leqslant 2 \\ [/tex]