Fie A un punct exterior unui cerc de centru O si raza 6 dm. Se construieste tangenta AB, B € C(O, 6). Stiind ca AO=2 radical din 15 dm, aratati ca aria triunghiului ABO estr mai mica decat 15 dm^2

Răspuns:

Aria (ABO) < 15 dm² pentru că 6√6 < 15

Explicație pas cu pas:

Tangenta este perpendiculară pe raza cercului în punctul de tangență.

Asta înseamnă că triunghiul ABO este dreptunghic în B.

Teorema lui Pitagora:

AB² = AO² - OB² = 60 - 36 = 24 ⇒ AB = 2√6 dm

Aria triunghiului:

[tex]A = \frac{OB*AB}{2} = \frac{6*2\sqrt{6} }{2} = 6\sqrt{6} dm^{2}[/tex]

Comparăm pe 6√6 cu 15: fiind numere pozitive, pot fi ridicate la pătrat pentru a fi comparate:

(6√6)² = 216

15² = 225

Cum 216 < 225 ⇒ 6√6 < 15 ⇒ Aria (ABO) < 15 dm²

[tex]\it Cu \ teorema\ lui\ Pitagora \Rightarrow AB^2=(2\sqrt{15})^2-6^2=60-36=24 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow AB=\sqrt{24}=\sqrt{4\cdot6}=2\sqrt6\ dm\\ \\ \\ \mathcal{A}_{OAB}=\dfrac{AB\cdot BO}{2}=\dfrac{\not2\sqrt6\cdot6}{\not2}=6\sqrt6=\sqrt{6^2\cdot6}=\sqrt{216} < \sqrt{225}=15\ dm^2[/tex]