8. Fie M un punct în interiorul triunghiului isoscel ABC ([AB]=[AC])
astfel încât MBA=<MCA. Arată că distanţța de la M la AB este
egală cu distanţa de la M la AC.​

triunghiul BMA este echivalent cu triunghiul MAC: -AM latura comuna

-masura unghiurilor ABM si ACM este egala

-AB=AC

De aici rezulta ca masura unghirilor BAM SI CAM sunt egale.

Ducem inaltima din M pe AB si o notam cu D

Ducem inaltima din M pe AC si o notam cu F

Triunghurile dreptunghice MDA si MFA sunt echivalente:

- AM latura comuna

-masura unghiurilor MAD si MAF este la fel

De aici rezulta ca MD estw egal cu MF

Răspuns:

d(M,AB) ≡ d(M,AC)

Explicație pas cu pas:

ΔABC este isoscel, [AB] ≡ [AC]

=> ∢ABC ≡ ∢ACB

avem:

∢MBC = ∢ABC - ∢MBA

∢MCB = ∢ACB - ∢MCA

∢MBA ≡ ∢MCA

=> ∢MBC ≡ ∢MCB => ΔMBC este isoscel

=> [MB] ≡ [MC]

din [AB] ≡ [AC], ∢MBA ≡ ∢MCA și [MB] ≡ [MC]

=> ΔABM ≡ ΔACM (cazul L.U.L.)

=> ∢BAM ≡ ∢CAM

=> AM este bisectoare => d(M,AB) ≡ d(M,AC)

(Orice punct de pe bisectoarea unui unghi este egal depărtat de laturile unghiului.)

q.e.d.